목차
1. 구면좌표계의 정의
2. 구면좌표계에서 2중적분
1. 구면좌표계의 정의
구(Sphere)란 공간좌표계의 한 정점으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합이다. 구의 반지름을 R이라고 할 때, 겉넓이 S는 $4\pi R^{2}$ 이라고 이미 배웠을 것이다. 그러나 왜 $4\pi R^{2}$ 인지는 고등학교 수준에서는 배우지 않는다. 이는 정적분이 아닌 2중적분을 이용하기 때문인데, 구하는 방법 자체는 고등학교 교과서에서 나오는 구분구적법을 이용한다.
구면좌표계(Spherical Coordinate System)
구의 넓이를 구하기 위해서는 구면좌표계를 이용하면 편리하다. 구면좌표계는 3차원 공간 상의 점들을 나타내는 좌표계의 하나로, 보통 $(\rho ,\phi, \theta)$로 나타낸다. 구면좌표계는 구대칭이 나타나는 문제에서 유용하게 쓰인다.
좌표 $(\rho ,\phi, \theta)$는 다음과 같이 정의 된다. 주어진 점을 P라 하자.
- $\rho$ : 원점으로부터 P까지의 거리.
- $\phi$: z축의 양의 방향으로부터 원점과 P가 이루는 직선까지의 각
- $\theta$: x축의 양의 방향으로부터 원점과 P가 이루는 직선을 xy평면에 투영시킨 직선까지의 각.
$\rho\geq 0$
$0\leq \theta\leq \pi$
$0\leq \phi< 2\pi$
직표좌표계로 표현하면 다음과 같다. ($\mathrm{r}=\rho\sin\phi$)
$\mathrm{x}=\rho\sin \phi\cos\theta,\; \mathrm{y}=\rho\sin \phi\sin\theta,\; \mathrm{z}=\rho\cos\phi$
$\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2}=\rho^{3}$
2. 구면좌표계에서 2중적분
구의 넓이를 구하는 컨셉은 구를 한없이 잘게 쪼개어 작은 사각형의 넓이를 다 더해서 구한다는 것이다.
구 전체의 겉넓이를 $\mathrm{S}$라고 하자. 위 원리에 따르면 $\mathrm{S}$는 다음과 같은 수식을 세울 수 있다.
$\mathrm{S}=\int \mathrm{d}\mathrm{S}$
이 작은 사각형을 크게 확대하면 다음과 같다.
수식의 $\mathrm{d}\mathrm{S}$를 $\theta$와$\phi$로 풀어주면 된다.
저 사각형의 가로 넓이와 세로 넓이는 직선으로 생각하고 풀어도 되겠지만 호의 길이(=$\mathrm{r}\theta$)로 푸는 것이 좀 더 정확하고 쉽게 풀 수 있다.
$\mathrm{d}\mathrm{S}$=(작은 사각형의 가로넓이)X(작은 사각형의 세로넓이)
(작은 사각형의 가로넓이)= $\mathrm{d}\theta\times\mathrm{r}=\mathrm{d}\theta\times\rho\sin\phi$
(작은 사각형의 세로넓이)= $\rho\mathrm{d}\phi$
$\mathrm{d}\mathrm{S}=\rho^{2}\sin\phi\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi$
🛎️위 사각형은 직사각형이 아니고, 사각형의 윗변과 아랫변의 길이도 다르지만, 무한 등분하면 결국 직사각형을 구하는 것처럼 된다[3].
\begin{align*}
S &= \int \mathrm{d}\mathrm{S} \\
&= \int \rho^{2}\sin\phi\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi \\
&=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\rho^{2}\sin\phi\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta
\end{align*}
이것이 이중적분이라고 하고, 안쪽부터 계산한다.
\begin{align*}
\int_{0}^{\pi}\rho^{2}\sin\phi\mathrm{d}\phi &= \rho^{2}\int_{0}^{\pi}\sin\phi\mathrm{d}\phi\\
&= \rho^{2} [-\cos\phi]_{0}^{\pi}\\
&= 2\rho^{2}
\end{align*}
바깥쪽 적분에 넣어주면,
\begin{align*}
\int_{0}^{2\pi}2\rho^{2}\mathrm{d}\theta &= 2\rho^{2}\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\\
&= 2\rho^2\times2\pi\\
&= 4\pi\rho^{2}
\end{align*}
앞서 $\rho$는 원점에서 점P까지의 거리인 반지름 R이므로,
\begin{align*}
\therefore \mathrm{S}&=4\pi\rho^{2}\\
&=4\pi\mathrm{R}^{2}
\end{align*}
이렇게 이중적분을 사용해서 구의 겉넓이 공식을 유도할 수 있다.
출처
[1] https://color-change.tistory.com/57
[2] https://angeloyeo.github.io/2020/07/30/multiple_integral.html
[3] https://89douner.tistory.com/238
[4] https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=alsdnr7680&logNo=220789895432